Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]g(x)=cos4x+5cos^{2}x+sin^{2}x[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]g(x)=cos(2 \cdot 2x)+5cos^{2}x+1-cos^{2}x=2cos^{2}2x-1+5cos^{2}x+1-cos^{2}x=2(2cos^{2}x-1)^{2}+4cos^{2}x=2(4cos^{4}x-4cos^{2}x+1)+4cos^{2}x=8cos^{4}x-4cos^{2}x+2[/tex]
Podstawmy [tex]t=cos^{2}x[/tex], gdzie [tex]0\leq t\leq 1[/tex] :
[tex]g(t)=8t^{2}-4t+2[/tex]
Teraz musimy sprawdzić trzy możliwości:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]t=0[/tex] :
[tex]g(0)=2[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]t=1[/tex] :
[tex]g(1)=6[/tex]
[tex]3^{\circ}[/tex] Wierzchołek funkcji kwadratowej:
[tex]p=\frac{1}{4} \in \ <0,1> \ \Rightarrow q=f(p)=\frac{3}{2}[/tex]
Zatem mamy zbiór wartości funkcji [tex]g[/tex] :
[tex]Y= \ <\frac{3}{2 }, 6>[/tex]
Funkcja [tex]g[/tex] przyjmuje najmniejszą wartość, gdy [tex]t=\frac{1}{4} \iff cos^{2}x=\frac{1}{4}[/tex]. Rozwiązujemy to równanie:
[tex]cos^{2}x-\frac{1}{4}=0\\(cosx-\frac{1}{2})(cosx+\frac{1}{2})=0\\cosx=-\frac{1}{2} \vee cosx=\frac{1}{2} \\x=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee x= x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi }{3} +2k\pi \vee x=\frac{\pi }{3}+2k\pi[/tex]
