Rozwiązanie:
Najpierw zajmijmy się zbiorem [tex]S[/tex] :
[tex]S=\{(x,y): log_{|y+1|}x\leq 1\}[/tex]
Założenia:
[tex]x>0 \wedge y\neq -1 \wedge y\neq 0[/tex]
Rozważmy przypadki:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]|y+1|>1 \iff y>0 \vee y<-2[/tex] :
[tex]log_{|y+1|}x\leq 1\\log_{|y+1|}x\leq log_{|y+1|}|y+1| \iff x\leq |y+1|[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]0<|y+1|<1 \iff y \in (-2,-1) \cup (-1,0)[/tex] :
[tex]log_{|y+1|}x\leq 1\\log_{|y+1|}x\leq log_{|y+1|}|y+1| \iff x\geq |y+1|[/tex]
To już łatwo narysować, rysunek w załączniku (kolor niebieski).
Teraz zajmiemy się zbiorem [tex]A_{m}[/tex] :
[tex]A_{m}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}-2mx-4y+4\leq 0\}[/tex]
Jest to koło o środku w punkcie [tex](m,2)[/tex] i promieniu [tex]m[/tex]. Łatwo widać, że to koło jest styczne do osi [tex]OY[/tex] w punkcie [tex](0,2)[/tex]. W załączniku przedstawiam rysunek koła, które spełnia jeden warunek graniczny zadania.
Łatwo zauważyć też, że prosta dana równaniem [tex]y=x-1[/tex] musi być styczna do rozważanego okręgu, aby warunek graniczny był spełniony.
Zatem musi zachodzić równość:
[tex]m=\frac{|m-2-1}{\sqrt{1+1} } \\m\sqrt{2} =|m-3| \iff m\sqrt{2}=m+3 \vee -m\sqrt{2} =m+3\\m=\frac{3}{1-\sqrt{2} } <0 \vee m=\frac{3}{1+\sqrt{2} }[/tex]
Pierwszego rozwiązania nie bierzemy pod uwagę, gdyż wtedy środek okręgu leży po lewej stronie osi [tex]OY[/tex], czyli do zbioru [tex]S[/tex] należą takie punkty, że ich odcięta jest ujemna.
Z drugiej strony warunkiem granicznym jest, aby [tex]m>0[/tex], gdyż wtedy odcięta punktów należących do zbioru [tex]S[/tex] jest dodatnia.
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
[tex]0<m<3(\sqrt{2}-1)[/tex]
