Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=2(x-1)^3-4=2x^3-6x^2+6x-6[/tex]
1. Dziedzina i zbiór wartości
[tex]x\in\mathbb{R}\\\\y\in\mathbb{R}[/tex]
2. Miejsca zerowe i przecięcia z osią OY
[tex]0=2(x-1)^3-4\\\\(x-1)^3=2\\\\x=1+\sqrt[3]{2}\approx2,2599 \\\\f(0)=-6[/tex]
3. Granice
[tex]\lim_{x \to- \infty} f(x)=-\infty \\\\ \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty[/tex]
4. Asymptoty
Funkcja nie posiada asymptot.
5. Przedziały monotoniczności
[tex]\frac{d}{dx} f(x)=6x^2-12x+6\\\\6x^2-12x+6=0\\\\\Delta=0\\\\x_0=1[/tex]
Pochodna to parabola o jednym miejscu zerowym z ramionami skierowanymi ku górze. Stąd:
[tex]f\nearrow \ dla \ x\in \mathbb{R}[/tex]
Funkcja nie posiada ekstremów lokalnych.
6. Przedziały wklęsłości i wypukłości
[tex]\frac{d^2}{dx^2} f(x)=12x-12\\\\12x-12=0\\\\x=1[/tex]
Znak pochodnej drugiego rzędu zmienia się z ujemnego na dodatni w otoczeniu punktu krytycznego. Czyli:
Funkcja wyjściowa jest wklęsła dla [tex]x\in(-\infty \ ; \ 1)[/tex]
Funkcja wyjściowa jest wypukła dla [tex]x\in(1 \ ; \ \infty)[/tex]
Wartość funkcji w punkcie przegięcia:
[tex]f(1)=-4[/tex]
7. Wykres z zaznaczonymi punktami charakterystycznymi.
