Odpowiedź
Podane równanie [tex]f^2(x) - 16 = 0[/tex] z warunkiem [tex]f(4) = -1[/tex] ma dwa rozwiązania
[tex]x_1 = 4^{-4} = \dfrac 1 {256}[/tex]
oraz
[tex]x_2 = 4^4 = 256[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Ponieważ pytanie nie wymaga podania postaci funkcji f, chciałabym pokazać/przypomnieć, że w wielu zadaniach właśnie tak jest, iż nie ma potrzeby podawania dokładnej postaci funkcji.
Znamy ogólną postać funkcji i jej wartość w punkcie A
[tex]f(x) = log_a \, x\\f(4) = -1 ~~ \Rightarrow ~~ log_a \, 4 = -1[/tex]
Rozwiązujemy równanie
[tex]\displaystyle f^2(x) - 16 = 0\\\displaystyle \left( f(x) - 4 \right) \cdot \left( f(x) + 4 \right) = 0[/tex]
Rozwiązanie jest sumą rozwiązań równań
[tex]f(x) = -4\\\\f(x) = 4[/tex]
Pierwsze z nich
[tex]f(x) = -4\\\\f(x) = log_a \, x = -4\\log_a \, 4 = -1\\\\\\\dfrac {log_a \, x} {log_a \, 4} = \dfrac {-4} {log_a \, 4}\\\\log_4 \, x = \dfrac {-4} {-1}\\\\log_4 \, x = 4 ~~ \Rightarrow ~~ x = 4^4 = 256[/tex]
I drugie
[tex]f(x) = 4\\\\f(x) = log_a \, x = 4\\log_a \, 4 = -1\\\\\\\dfrac {log_a \, x} {log_a \, 4} = \dfrac {4} {log_a \, 4}\\\\log_4 \, x = \dfrac {4} {-1}\\\\log_4 \, x = -4 ~~ \Rightarrow ~~ x = 4^{-4} = \dfrac 1 {256}[/tex]
P.S.
Na podobnej zasadzie wczoraj odpowiedziałam w zadanym pytaniu, że wyliczenie nie było potrzebne – wystarczyło sprawdzić.
