Odpowiedź:
1. Dwie proste o równaniach [tex]y=a_1x+b_1[/tex] i [tex]y=a_2x+b_2[/tex] są prostopadłe, gdy
[tex]a_1\cdot a_2 = -1[/tex]
Pierwsza prosta ma równanie [tex]y=-5x-1[/tex], stąd [tex]a_1=-5[/tex]. Obliczmy [tex]a_2[/tex]
[tex]a_1\cdot a_2=-1\\a_2=\frac{-1}{a_1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}[/tex]
Zatem nasza druga prosta ma postać [tex]y=\frac{1}{5}x+b_2[/tex] i wiemy, że przechodzi przez punkt P(-4, 3). Wstawiamy zatem współrzędne punktu P za x i y do równania drugiej prostej:
[tex]3=\frac{1}{5}\cdot(-4)+b_2\\3=-\frac{4}{5}+b_2\\b_2=3+\frac{4}{5}\\b_2=\frac{19}{5}[/tex]
Zatem szukana prosta ma równanie
[tex]y=\frac{1}{5}x+\frac{19}{5}[/tex]
2. Proste równoległe mają taki sam współczynnik a (ten przy x). Jeżeli zatem szukamy prostej równoległej do prostej [tex]y=x+7[/tex], to nasza prosta ma postać
[tex]y=x+b[/tex]
(współczynnik a=1)
Aby obliczyć b, wstawiamy współrzędne punktu P(-2, 1), który należy do drugiej prostej, do jej równania
[tex]1=-2+b\\b=3[/tex]
Zatem szukana prosta ma równanie postaci
[tex]y=x+3[/tex]
3. Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, tworzymy układ dwóch równań typu [tex]y=ax+b[/tex], gdzie w pierwszym równaniu zastępujemy x i y współrzędnymi jednego punktu (A), a w drugim - drugiego (B). Mamy
[tex]\left \{ {{5=a\cdot(-5)+b} \atop {1=a\cdot(-1)+b}} \right.[/tex]
Spójrzmy na drugie równanie i wyznaczmy z niego b:
[tex]1=-1a+b\\1=-a+b\\b=1+a[/tex]
Wstawiamy do pierwszego równania:
[tex]5=-5a+b\\5=-5a+(1+a)\\5=-5a+1+a\\5=-4a+1\\-4a=4\\a=\frac{4}{-4}=-1[/tex]
Obliczamy teraz b:
[tex]b=1+a=1+(-1)=0[/tex]
Zatem nasza prosta ma równanie postaci
[tex]y=-1x+0\\y=-x[/tex]
