Odpowiedź:
Proste są prostopadłe, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych (to jest liczb przy x) wynosi -1. Tzn. jeżeli mamy dwie proste określone równaniami:
[tex]y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2[/tex]
to są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
[tex]a_1\cdot a_2=-1[/tex]
W zadaniu mamy prostą (oznaczmy ją k) o równaniu
[tex]k: y=\frac{3}{4}x-7[/tex]
Stąd nasze [tex]a_1=\frac{3}{4}[/tex]
Będziemy wyznaczali równanie prostej prostopadłej do k, którą oznaczymy l. Ma ona równanie:
[tex]l:y=a_2x+b_2[/tex]
Wykorzystajmy podany wyżej wzór do obliczenia [tex]a_2[/tex]
[tex]a_1\cdot a_2 = -1\\\frac{3}{4}\cdot a_2 = -1\\a_2=\frac{-1}{\frac{3}{4}} = -1\cdot\frac{4}{3} = -\frac{4}{3}[/tex]
Wiemy zatem, że prosta l ma postać:
[tex]l: y=-\frac{4}{3}x+b_2[/tex]
Mamy informację, że prosta l przechodzi przez punkt P(9,8). Oznacza to, że możemy wstawić współrzędne punktu P za x i y w równaniu prostej l. W ten sposób wyznaczymy [tex]b_2[/tex] i uzyskamy pełne równanie prostej.
[tex]l: y=-\frac{4}{3}x+b_2\\8=-\frac{4}{3}\cdot9+b_2\\8=-4\cdot3+b_2\\8=-12+b_2\\b_2=20[/tex]
Zatem równanie prostej l prostopadłej do prostej [tex]k: y=\frac{3}{4}x-7[/tex] ma równanie:
[tex]l: y = -\frac{4}{3}x+20[/tex]
