Odpowiedź:
a) Równania symetralnych odcinków AB i BC
Na początek musimy wyznaczyć równania prostych przechodzących przez odcinki AB i BC. Zrobimy to, tworząc układy równań, w których do równania kierunkowego prostej [tex]y=ax+b[/tex] wstawimy za x i y współrzędne odpowiednich punktów.
Prosta przechodząca przez punkty A(0,2) i B(2,4):
[tex]\left \{ {{2=a\cdot0+b} \atop {4=a\cdot2+b}} \right.[/tex]
Z pierwszego równania mamy [tex]b=2[/tex]. Wstawiamy do drugiego równania:
[tex]4=2a+b \iff 4=2a+2 \iff 2a=2 \iff a=1[/tex]
Zatem prosta przechodząca przez punkty A i B (oznaczmy ją [tex]k[/tex]) ma równanie
[tex]k:y=x+2[/tex]
Prosta przechodząca przez punkty B(2,4) i C(6,2):
[tex]\left \{ {{4=a\cdot2+b} \atop {2=a\cdot6+b}} \right.[/tex]
Wyznaczmy b z pierwszego równania:
[tex]4=2a+b \iff b=4-2a[/tex]
Wstawiamy do drugiego równania:
[tex]2=6a+b \iff 2=6a+4-2a \iff -2=4a \iff a=-\frac{1}{2}[/tex]
Obliczamy b:
[tex]b=4-2a=4-2\cdot(-\frac{1}{2})=4+1=5[/tex]
Stąd mamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C (oznaczmy ją [tex]l[/tex]):
[tex]l: y=-\frac{1}{2}x+5[/tex]
Symetralna jest to prosta przechodząca pod kątem prostym przez środek odcinka. Najpierw wyznaczymy zatem punkty leżące pośrodku odcinków AB i BC, a następnie proste prostopadłe do k i l, przechodzące przez te punkty.
Środek odcinka AB - punkt D:
[tex]D=\left( \frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (1,3)[/tex]
Środek odcinka BC - punkt E:
[tex]E=\left( \frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right) = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = (4,3)[/tex]
Teraz wyznaczymy równania prostych prostopadłych do prostych k i l, które przechodzą przez punkty - odpowiednio - D i E.
Proste są prostopadłe, kiedy iloczyn ich współczynników kierunkowych (liczb przy x) wynosi -1 [tex](a_1a_2=-1)[/tex].
Prosta prostopadła do prostej k - prosta m:
[tex]k:y=x+2 \Rightarrow a_k = 1[/tex]
[tex]k \perp m \Rightarrow a_ka_m = -1 \land a_k=1 \Rightarrow a_m=-1[/tex]
Zatem prosta m ma postać [tex]m: y=-x+b_m[/tex]. Wstawmy współrzędne punktu D, który należy do prostej m, do tego równania, aby wyznaczyć [tex]b_m[/tex]
[tex]3=-1+b_m \iff b_m = 4[/tex]
Zatem równanie prostej m prostopadłej do prostej k ma postać:
[tex]m: y=-x+4[/tex]
Prosta prostopadła do prostej l - prosta n:
[tex]l: y=-\frac{1}{2}x+5 \Rightarrow a_l=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]l \perp n \Rightarrow a_l a_n=-1 \land a_l=-\frac{1}{2} \Rightarrow a_n = \frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2[/tex]
Zatem prosta n ma postać [tex]n: y=2x+b_n[/tex]. Wstawmy współrzędne punktu E, który należy do prostej n, do tego równania, aby wyznaczyć [tex]b_n[/tex]
[tex]3=2\cdot4+b_n \iff 2=8+b_n \iff b_n = -6[/tex]
Zatem równanie prostej n prostopadłej do prostej l ma postać:
[tex]n: y = 2x - 6[/tex]
Wyznaczyliśmy równania symetralnych odcinków AB i BC. Są to odpowiednio proste [tex]y=-x+4[/tex] oraz [tex]y=2x-6[/tex]
b) Punkt przecięcia symetralnych
Punkt ten wyznaczamy, tworząc układ równań, w którym znajdą się równania symetralnych:
[tex]\left \{ {{y=-x+4} \atop {y=2x-6}} \right.[/tex]
Rozwiązujemy układ równań:
[tex]-x+4=2x-6\\10=3x\\x=\frac{10}{3}[/tex]
[tex]y=-x+4\\y=-\frac{10}{3}+4 = \frac{2}{3}[/tex]
Zatem współrzędne szukanego punktu przecięcia symetralnych odcinków AB i BC (tj. prostych m i n) to [tex]S=\left(\frac{10}{3}, \frac{2}{3} \right)[/tex].
c) Odległość między punktem S a punktami A, B, C
Odległość między punktami to w istocie długość odcinka. Szukamy zatem długości odcinków SA, SB i SC. Skorzystamy ze wzoru:
[tex]|PQ|=\sqrt{\left(x_Q-x_P\right)^2 + \left(y_Q-y_P\right)^2}[/tex], gdzie [tex]P=(x_P, y_P),\,\, Q=(x_Q, y_Q)[/tex]
Przystępujemy do obliczeń
[tex]|SA|=\sqrt{\left(0-\frac{10}{3}\right)^2+\left(2-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{10}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2} \\= \sqrt{\frac{100}{9}+\frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{116}{9}} = \frac{2\sqrt{29}}{3}[/tex]
[tex]|SB|=\sqrt{\left(2-\frac{10}{3}\right)^2+\left(4-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2} \\= \sqrt{\frac{16}{9}+\frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{116}{9}} = \frac{2\sqrt{29}}{3}[/tex]
[tex]|SC| = \sqrt{\left(6-\frac{10}{3}\right)^2+\left(2-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2} \\= \sqrt{\frac{64}{9}+\frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}[/tex]
