Rozwiązanie:
To co mamy udowodnić to tzw. twierdzenie o odcinkach siecznych. Przyjmijmy oznaczenia:
[tex]\angle APC=\alpha \\\angle ACP=\beta \\\angle PAC=\gamma[/tex]
Wówczas:
[tex]\angle DCA=180-\beta \\\angle BAC=180-\gamma[/tex]
Ponieważ czworokąt [tex]ABDC[/tex] jest wpisany w okrąg, to sumy miar jego przeciwległych kątów są równe i wynoszą [tex]180[/tex]°. Stąd:
[tex]\angle DBA=\beta \\\angle BDC=\gamma[/tex]
Stąd łatwo wywnioskować, że trójkąty [tex]PBD[/tex] oraz [tex]PCA[/tex] są podobne na podstawie cechy [tex]kkk[/tex]. Z podobieństwa uzyskamy:
[tex]\frac{|AP|}{|DP|}=\frac{|CP|}{|BP|}[/tex]
Zatem:
[tex]|AP|*|BP|=|CP|*|DP|[/tex]
co kończy dowód.
