Odpowiedź:
[tex]\bold{x_o=-9\,,\ \ y_o=5\,,\ \ x_e=-3,4}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych wystarczy rozwiązać układ równań określających te proste.
A = (5, -9), B = (11, - 7), C = (1, -1), D = (-2, -2)
Wyznaczamy równania prostych zawierających ramiona trapezu (czyli boki AD i BC):
Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej ramię AD:
[tex]a_{AD}=\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\dfrac{-2-(-9)}{-2-5}=\dfrac7{-7}=-1[/tex]
Równanie prostej o tym współczynniku, przechodzącej przez punkt D (czyli prostej AD):
[tex]y=a_{AD}(x-x_D)+y_D\\\\y=-(x+2)-2\\\\y=-x-4[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej ramię BC:
[tex]a_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{-1-(-7)}{1-11}=\dfrac6{-10}=-\dfrac35[/tex]
Równanie prostej o tym współczynniku, przechodzącej przez punkt C (czyli prostej BC):
[tex]y=a_{BC}(x-x_C)+y_C\\\\y=-\frac35(x-1)-1\\\\y=-\frac35x+\frac35-1\\\\y=-\frac35x-\frac25[/tex]
Czyli:
[tex]\begin{cases}y_o=-x_o-4\qquad/\cdot(-5)\\y_o=-\frac35x_o-\frac25 \qquad/\cdot5 \end{cases}\\\\ \underline{\begin{cases}-5y_o=5x_o+20\\5y_o=-3x_o-2\end{cases}}\\{}\quad 0=2x_o+18\\{}\quad -2x_o=18\quad/:(-2)\\{}\qquad x_o=-9\\\\y_o=-(-9)-4=5\\\\\\O=(-9,\,5)[/tex]
Skoro AB jest styczna od okręgu w punkcie E, to promień poprowadzony do tego punktu styczności tworzy z AB kąt prosty. Aby wyznaczyć współrzędne punktu E wystarczy rozwiązać układ równań prostych zawierających podstawę AB i promień OE.
Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej AB:
[tex]a_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-7-(-9)}{11-5}=\dfrac2{6}=\dfrac13[/tex]
Równanie prostej o tym współczynniku, przechodzącej przez punkt A (czyli prostej AB):
[tex]y=a_{AB}(x-x_A)+y_A\\\\y=\frac13(x-5)-9\\\\y=\frac13x-\frac53-\frac{27}3\\\\y=\frac13x-\frac{32}3[/tex]
OE ⊥ AB ⇒ [tex]a_{AB}\cdot a_{OE}=-1[/tex]
[tex]\frac13\cdot a_{OE}=-1\qquad/\cdot3\\\\ a_{OE}=-3[/tex]
Równanie prostej o tym współczynniku, przechodzącej przez punkt O (czyli prostej OE):
[tex]y=a_{OE}(x-x_o)+y_o\\\\y=-3(x+9)+5\\\\y=-3x-22[/tex]
Czyli:
[tex]\begin{cases}y_e=-3x_e-22\qquad/\cdot(-3)\\y_e=\frac13x_e-\frac{32}3 \qquad/\cdot3 \end{cases}\\\\ \underline{\begin{cases}-3y_e=9x_e+66\\3y_e=x_e-32\end{cases}}\\{}\quad 0=10x_e+34\\{}\quad -10x_e=34\quad/:(-10)\\{}\qquad \underline{x_e=-3,4}\\\\ y_e=-3\cdoot(-3,4)-22=10,2-22=-11,8\\\\\\E=(-3{,}4\,;-11{,}8)[/tex]
{Jak widać, w treści zadania jest mała nieścisłość. Okrąg jest styczny, nie do podstawy AB, tylko do prostej zawierającej podstawę AB}
