Odpowiedź :
Odpowiedź:
Przekątne czworokąta z zadania to odcinki AC i BD. Rozwiążemy zadanie, wyznaczając równania prostych, do których należą te przekątne, a następnie ustalając współrzędne punktu przecięcia tych prostych. Jeżeli będzie to (0, 3), to przekątne czworokąta przecinają się w punkcie P.
1. Przekątna AC
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C. Robimy to w taki sposób, że do równania kierunkowego prostej [tex]y=ax+b[/tex] wstawiamy za x i y współrzędne punktów. Potrzebujemy zatem dwóch równań:
[tex]\left \{ {{-1=a\cdot (-2)+b } \atop {7=a\cdot 2+b}} \right.[/tex]
Z pierwszego równania wyznaczamy wartość b:
[tex]-1=-2a+b\Rightarrow b=-1+2a=2a-1[/tex]
i podstawiamy obliczoną wartość zamiast b w drugim równaniu:
[tex]7=2a+b=2a+2a-1\\7=4a-1\\4a=8\\a=2[/tex]
Następnie wracamy do równania [tex]b=2a-1[/tex] i wstawiamy [tex]a=2[/tex], otrzymując
[tex]b=2\cdot 2 -1 = 3[/tex]
Zatem mamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C (oznaczmy ją [tex]k[/tex]):
[tex]k:y=2x+3[/tex]
2. Przekątna BD
Tak samo jak w poprzednim punkcie, wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i D:
[tex]\left \{ {{1=a\cdot 7+b} \atop {4=a\cdot (-3)+b}} \right.[/tex]
Z pierwszego równania wyznaczamy b:
[tex]1=7a+b \Rightarrow b=1-7a[/tex]
Wstawiamy do drugiego równania:
[tex]4=-3a+b\\4=-3a+1-7a\\4=1-10a\\3=-10a\\a=-\frac{3}{10}[/tex]
Wracamy do pierwszego równania, wstawiając [tex]a=-\frac{3}{10}[/tex]:
[tex]b=1-7\cdot(-\frac{3}{10})=1+\frac{21}{10}=\frac{31}{10}[/tex]
Zatem równanie prostej przechodzącej przez punkty B i D (oznaczmy ją [tex]l[/tex]) ma postać:
[tex]l:y=-\frac{3}{10}x+\frac{31}{10}[/tex]
3. Punkt przecięcia przekątnych
Szukamy punktu przecięcia prostych k i l. Tworzymy układ równań z równań tych dwóch prostych:
[tex]\left \{ {{y=2x+3} \atop {y=-\frac{3}{10}x+\frac{31}{10}}} \right.[/tex]
[tex]2x+3=-\frac{3}{10}x+\frac{31}{10}\\2x+\frac{3}{10}x=\frac{31}{10}-3\\\frac{23}{10}x=\frac{1}{10}\\23x=1\\x=\frac{1}{23}[/tex]
Wstawiamy [tex]x=\frac{1}{23}[/tex] do pierwszego równania, aby wyznaczyć y:
[tex]y=2\cdot \frac{1}{23}+3=\frac{2}{23}+\frac{69}{23}=\frac{71}{23}[/tex]
Zatem punktem przecięcia prostych [tex]k[/tex] i [tex]l[/tex] jest punkt o współrzędnych [tex](\frac{1}{23}, \frac{71}{23})[/tex].
4. Podsumowanie
Oczywiście, wyznaczony przez nas punkt przecięcia to nie jest punkt [tex]P(0,3)[/tex]. Wykazaliśmy zatem, że przekątne czworokąta ABCD nie przecinają się w punkcie P.