Odpowiedź:
Ze wzoru [tex]\frac{n(n-3)}{2}[/tex], opisującego liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego (gdzie: n - ilość boków) obliczmy, ile przekątnych ma sześciokąt foremny:
[tex]\frac{n(n-3)}{2}=\frac{6(6-3)}{2}=3*3=9[/tex].
Ponadto, wiemy, że sześciokąt foremny posiada przekątne o dwóch różnych długościach: [tex]2a[/tex] i [tex]2*\frac{a\sqrt{3} }{2}=a\sqrt{3}[/tex] (gdzie: a - długość boku sześciokąta).
Zastanówmy się teraz, ile przekątnych danej długości występuje w tej figurze. Na poniższym rysunku pomarańczowym kolorem zaznaczono przekątne długości [tex]a\sqrt{3}[/tex], zaś kolorem zielonym przekątne długości [tex]2a[/tex]. Widać wyraźnie, że tych pierwszych jest 6, a drugich 3.
Zgodnie z powyższymi informacjami obliczmy sumę długości wszystkich przekątnych sześciokąta foremnego (oznaczmy ją przez [tex]S[/tex]) :
[tex]S=3*2a+6*a\sqrt{3}=6a+6a\sqrt{3}[/tex]
Zaś obwód tej figury wynosi:
[tex]L=6*a=6a[/tex]
Uzasadnijmy teraz tezę naszego zadania:
[tex]S < 3L\\6a+6a\sqrt{3} < 3*6a\\6a+6a\sqrt{3} < 18a\\6a\sqrt{3} <12a\\6a*1,7 <12a\\10,2a <12a[/tex]
Powyższa nierówność jest oczywiście prawdziwa, ponieważ a jest długością boku sześciokąta foremnego, więc [tex]a>0[/tex]. Zatem suma długości wszystkich przekątnych sześciokąta foremnego jest mniejsza od trzykrotności jego obwodu.
c.n.w
