Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny można obliczyć ze wzoru:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
a pole trójkąta:
[tex]P=pr[/tex], gdzie [tex]p[/tex] to połowa jego obwodu.
Obliczamy wartość wyrażenia [tex]a+b[/tex] z informacji o promieniu:
[tex]\frac{a+b-25}{2}=3\\a+b-25=6\\a+b=31[/tex]
Teraz możemy obliczyć [tex]p[/tex]:
[tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{31+25}{2}=28[/tex]
oraz pole trójkąta:
[tex]P=pr=28*3=84[/tex]
Zadanie 2.
Z pola:
[tex]P=\frac{1}{2}ab=210\\ab=420cm^{2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/tex]
Teraz wykonamy pewną sztuczkę:
[tex]a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=c^{2}[/tex]
Podstawiamy [tex]ab=420[/tex] :
[tex](a+b)^{2}-840=c^{2}\\(a+b)^{2}=c^{2}+840[/tex]
Ponadto z obwodu:
[tex]Obw.=a+b+c=70\\a+b=70-c[/tex]
Wstawiamy to do powyższego równania i otrzymujemy:
[tex](70-c)^{2}=c^{2}+840\\4900-140c+c^{2}=c^{2}+840\\4900-140c=840\\140c=4060\\c=29cm[/tex]
Zadanie 3.
Niech [tex]x[/tex] będzie wysokością tego trójkąta opuszczoną na najdłuższy bok (na przeciwko kąta [tex]120[/tex]). Wtedy ramiona mają po [tex]2x[/tex], a podstawa [tex]2x\sqrt{3}[/tex]. Z twierdzenia sinusów mamy:
[tex]\frac{2x}{sin30} =2*5=10\\2x=10*\frac{1}{2} =5\\x=\frac{5}{2}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}*2x*2x*sin120=2*(\frac{5}{2})^{2}*cos30=2*\frac{25}{4}*\frac{\sqrt{3} }{2}=\frac{25\sqrt{3} }{4} cm^{2}[/tex]
