Zadanie polega na obliczeniu obwodu oraz pola pięciokąta z rysunku.
Obwód tego pięciokąta wynosi [tex]Obw = 15\sqrt{2}\ cm + 5\ cm[/tex], zaś pole to
[tex]43,75\ cm^2[/tex] .
Oznaczenia wprowadzono jak na załączniku.
Skorzystano z własności trójkąta o kątach 90°, 45°, 45°.
Przy takich oznaczeniach obwód będzie wynosił:
[tex]Obw = b + b + z + z + 5\ cm = 2b + 2z + 5\ cm[/tex]
Należy wyliczyć niewiadome: z i b.
- Obliczamy najpierw długoś odcinka 'z':
Możemy zapisać, że:
[tex]z\sqrt{2} = 5\ cm | : \sqrt{2} \\\\[/tex]
Usuwamy niewymierność z mianownika - wykonuje się to poprzez mnożenie przez ułamek, który w liczniku i mianowniku składa się z tego pierwiastka, który chcemy usunąć.
[tex]z = \cfrac{5\ cm}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \cfrac{5\sqrt{2}\ cm}{2} = 2,5\sqrt{2} \ cm \\\\[/tex]
Chcąc obliczyć długość boku b, należy obliczyć najpierw długość odcinka |BD|:
[tex]|BD| = z\sqrt{2} + z\sqrt{2} = 2z\sqrt{2} = 2 \cdot 2,5 \sqrt{2} \ cm \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2\ cm = 10\ cm[/tex]
- Obliczamy długość odcinka - 'b' (korzystamy ponownie z własności trójkąta o kątach 90°, 45°, 45°):
[tex]b\sqrt{2} = 10\ cm | : \sqrt{2} \\\\b = \cfrac{10\ cm}{\sqrt{2}} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \cfrac{10\sqrt{2}\ cm }{2} = 5\sqrt{2} \ cm[/tex]
- Obliczamy obwód pięciokąta:
[tex]Obw = 2b + 2z + 5\ cm = 2 \cdot 5\sqrt{2}\ cm + 2 \cdot 2,5\sqrt{2}\ cm + 5\ cm = \\\\=10\sqrt{2}\ cm + 5\sqrt{2}\ cm+ 5\ cm = 15\sqrt{2}\ cm + 5\ cm[/tex]
- Obliczamy pole pięciokąta:
Na pole tego pięciokąta składają się trzy takie same trójkąty P1, P2, P3 oraz większy trójkąt P4. Są to trójkąty prostokątne, więc pole wyraża się wzorem:
[tex]P = \cfrac{a \cdot b}{2}[/tex]
gdzie:
a, b - długości przyprostokątnych trójkata prostokątnego
Możemy więc zapisać, że:
[tex]P_1 = P_2 = P_3 = \cfrac{z \cdot z}{2} = \cfrac{z^2}{2} = \cfrac{(2,5\sqrt{2}\ cm)^2}{2} = \cfrac{2,5^2 \cdot (\sqrt{2})^2\ cm^2}{2} =\\\\ = \cfrac{6,25 \cdot 2\ cm^2}{2} = 6,25\ cm^2[/tex]
[tex]P_4 = \cfrac{b \cdot b}{2} = \cfrac{b^2}{2} = \cfrac{5\sqrt{2}\ cm)^2}{2} = \cfrac{5^2 \cdot (\sqrt{2})^2\ cm^2}{2} = \cfrac{25\cdot 2\ cm^2}{2} = 25\ cm^2[/tex]
Pole pięciokąta będzie wynosić:
[tex]P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 3 \cdot 6,25\ cm^2 + 25\ cm^2 = 18,75\ cm^2 + 25\ cm^2 = 43,75\ cm^2[/tex]
#SPJ2
