Rozwiązanie:
Zadanie 1.
[tex]a=\frac{19\sqrt{3} }{3}[/tex]
Obliczamy miarę kąta ostrego rombu:
[tex]\alpha =\frac{360-2*150}{2} =30[/tex]
Obliczamy pole rombu:
[tex]P=a^{2}sin\alpha =(\frac{19\sqrt{3} }{3})^{2}*sin30=\frac{361}{3}*\frac{1}{2}=\frac{361}{6}[/tex]
Pole rombu można tez obliczyć ze wzoru [tex]P=ah=a*2r=2ar[/tex], stąd:
[tex]r=\frac{P}{2a}= \frac{361}{6} *\frac{3}{38\sqrt{3} } =\frac{19\sqrt{3} }{12}[/tex]
Zadanie 2.
Rysunek w załączniku.
Zaznaczone kąty wynikają z własności równoległoboku oraz własności kątów odpowiadających.
Zauważmy podobieństwo trójkątów [tex]DKC[/tex] oraz [tex]HKB[/tex] ([tex]kkk[/tex]). Stąd:
[tex]k=\frac{11x}{2x}=\frac{11}{2}\\\frac{10+y}{y}=\frac{11}{2}\\20+2y=11y\\9y=20\\y=\frac{20}{9}[/tex]
Dalej zauważmy podobieństwo trójkątów [tex]DKC[/tex] oraz [tex]DAH[/tex] ([tex]kkk[/tex]). Stąd:
[tex]\frac{10+\frac{20}{9} }{9x}=\frac{11x}{10} \\100+\frac{200}{9}=99x^{2}\\900+200=891x^{2}\\891x^{2}=1100\\x^{2}=\frac{1100}{891}=\frac{100}{81}\\x=\frac{10}{9}[/tex]
Obliczamy obwód równoległoboku:
[tex]Obw.=2(10+11x)=2(10+11*\frac{10}{9})=2(10+\frac{110}{9})=2*\frac{200}{9}=\frac{400}{9}[/tex]
