Udowodnimy, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej [tex]x[/tex] prawdziwa jest nierówność [tex]\frac{x}{9} +\frac{4}{x}\leq -\frac{4}{3}[/tex].
Dowód.
Załóżmy, że [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] oraz [tex]x<0[/tex].
Przekształcając równoważnie nierówność [tex]\frac{x}{9} +\frac{4}{x}\leq -\frac{4}{3}[/tex] otrzymujemy kolejno:
[tex]\frac{x}{9} +\frac{4}{x}\leq -\frac{4}{3} \\ \\ \frac{x}{9} +\frac{4}{x}+\frac{4}{3} \leq 0[/tex]
(Mnożymy obustronnie przez [tex]9x[/tex], możemy to zrobić, ponieważ założyliśmy, że [tex]x<0[/tex], a więc nie jest zerem. Z założenia wynika także, że [tex]9x<0[/tex], zatem po przemnożeniu odwracamy znak nierówności)
[tex]x^2+36+12x \geq 0 \\ \\ x^2+12x+36\geq 0 \\ \\ (x+6)^2\geq 0[/tex]
[tex]x+6[/tex] jest liczba rzeczywistą, a kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną, zatem ostatnia nierówność jaką otrzymaliśmy jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.
Ostatnią nierówność otrzymaliśmy poprzez przekształcenia równoważne z założeniem [tex]x<0[/tex], zatem biorąc pod uwagę równoważność i założenie wnioskujemy, że pierwsza nierówność także jest prawdziwa, ale tylko dla [tex]x<0[/tex], co kończy dowód. [tex]\boxed{}[/tex]
