Rozwiązanie:
Zadanie 1.
[tex]2x^{2} +4y^{2}+1\geq 2x+4xy\\2x^{2}-4xy+4y^{2}-2x+1\geq 0\\x^{2}-2x+1+x^{2}-4xy+4y^{2}\geq 0\\(x-1)^{2}+(x-2y)^{2}\geq 0[/tex]
Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż suma kwadratów liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna, co kończy dowód.
Zadanie 2.
[tex]6^{n+2}-2*6^{n+1}+7^{n+2}-7^n=6^{n+1}(6-2)+7^{n}(49-1)=4*6^{n+1}+2*24*7^{n}=24*6^{n}+2*24*7^{n}=24(6^{n}+2*7^{n})[/tex]
Skoro [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], to i [tex](6^{n}+2*7^{n}) \in \mathbb{N}[/tex], co kończy dowód.
Zadanie 3.
Liczbę całkowitą niepodzielną przez [tex]4[/tex] możemy zapisać jako:
[tex]4n+1[/tex] dla [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].
Zatem:
[tex](4n+1)+(4n+2)+(4n+3)=12n+6=6(2n+1)[/tex]
co kończy dowód.
