👤

Wyznacz wszystkie wartości parametru c, dla których równanie x^2-(2c-4)x+c^2-2c-3=0 ma dwa rozwiązania i oba są dodatnie. Pilnie potrzebne, proszę o pomoc

Odpowiedź :

Rozwiązanie:

[tex]x^{2}-(2c-4)x+c^{2}-2c-3=0[/tex]

Warunki:

[tex]\Delta>0\\\Delta=4c^{2}-16c+16-4(c^{2}-2c-3)=4c^{2}-16c+16-4c^{2}+8c+12=-8c+28\\-8c+28>0\\8c<28\\c<\frac{7}{2}\\c \in (-\infty,\frac{7}{2})[/tex]

[tex]x_{1}+x_{2}>0\\2c-4>0\\2c>4\\c>2\\c \in (2,\infty)[/tex]

[tex]x_{1}x_{2}>0\\c^{2}-2c-3>0\\\Delta_{c}=4-4*1*(-3)=16\\c_{1}=\frac{2-4}{2}=-1\\c_{2}=\frac{2+4}{2}=3\\c \in (-\infty,-1) \cup (3,\infty)[/tex]

Uwzględniamy wszystkie warunki i dostajemy:

[tex]c \in (3,\frac{7}{2})[/tex]

x² - (2c - 4)x + c² - 2c - 3 = 0

Aby parametr c nie był mylony ze współczynnikiem c równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, zastępuję go, na potrzeby rozwiązania tego zadania, parametrem k, czyli c = k.

x² - (2k - 4)x + k² - 2k - 3 = 0

a = 1, b = - (2k - 4) = - 2k + 4 = 4 - 2k, c = k² - 2k - 3

Równanie kwadratowe ma dwa różne dodatnie pierwiastki, jeżeli:

1. Δ > 0

2. x₁ + x₂ > 0

3. x₁ · x₂ > 0

Korzystając ze wzorów Viete'a: [tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \ i \ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex], warunki 2 i 3 możemy zapisać:

2.  [tex]\frac{-b}{a} > 0[/tex]

3.  [tex]\frac{c}{a} > 0[/tex]

1. Δ > 0

Δ = (4 - 2k)² - 4 · 1 · (k² - 2k - 3) = 16 - 16k + 4k² - 4k² + 8k + 12 = - 8k + 28

- 8k + 28 > 0

- 8k > - 28   |:(-8)

k < 3,5

k ∈ (- ∞; 3,5)

2. x₁ + x₂ > 0

[tex]\frac{2k- 4}{1} > 0 \\ 2k - 4 > 0 \\ 2k > 4 \ \ \ |:2 \\ k > 2 \\ k \in (2; \ + \infty)[/tex]

3. x₁ · x₂ > 0

[tex]\frac{k^2 - 2k - 3}{1} > 0 \\ k^2 - 2k - 3 > 0 \\ Miejsca \ zerowe: \\ k^2 - 2k - 3 = 0 \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16; \ \sqrt{\Delta} =\sqrt{16} = 4 \\ k_1 = \frac{-(-2)- 4}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} =\frac{-2}{2} = - 1 \\ k_2= \frac{-(-2)+4}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} =\frac{6}{2} =3[/tex]

Z uwzględnieniem ostrego znaku nierówności, zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. w zał.). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:

k ∈ (- ∞; - 1) ∪ (3; + ∞)

Parametr k musi spełniać wszystkie trzy warunki, zatem:

(- ∞; 3,5) ∩ (2; + ∞) ∩ [(- ∞; - 1) ∪ (3; + ∞)] = (3; 3,5)

k ∈ (3; 3,5)

Zastępując parametr k parametrem c (takim, jaki jest w treści zadania), otrzymujemy:

c ∈ (3; 3,5)

Zobacz obrazek Roma