x² - (2c - 4)x + c² - 2c - 3 = 0
Aby parametr c nie był mylony ze współczynnikiem c równania kwadratowego ax² + bx + c = 0, zastępuję go, na potrzeby rozwiązania tego zadania, parametrem k, czyli c = k.
x² - (2k - 4)x + k² - 2k - 3 = 0
a = 1, b = - (2k - 4) = - 2k + 4 = 4 - 2k, c = k² - 2k - 3
Równanie kwadratowe ma dwa różne dodatnie pierwiastki, jeżeli:
1. Δ > 0
2. x₁ + x₂ > 0
3. x₁ · x₂ > 0
Korzystając ze wzorów Viete'a: [tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \ i \ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex], warunki 2 i 3 możemy zapisać:
2. [tex]\frac{-b}{a} > 0[/tex]
3. [tex]\frac{c}{a} > 0[/tex]
1. Δ > 0
Δ = (4 - 2k)² - 4 · 1 · (k² - 2k - 3) = 16 - 16k + 4k² - 4k² + 8k + 12 = - 8k + 28
- 8k + 28 > 0
- 8k > - 28 |:(-8)
k < 3,5
k ∈ (- ∞; 3,5)
2. x₁ + x₂ > 0
[tex]\frac{2k- 4}{1} > 0 \\ 2k - 4 > 0 \\ 2k > 4 \ \ \ |:2 \\ k > 2 \\ k \in (2; \ + \infty)[/tex]
3. x₁ · x₂ > 0
[tex]\frac{k^2 - 2k - 3}{1} > 0 \\ k^2 - 2k - 3 > 0 \\ Miejsca \ zerowe: \\ k^2 - 2k - 3 = 0 \\ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16; \ \sqrt{\Delta} =\sqrt{16} = 4 \\ k_1 = \frac{-(-2)- 4}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} =\frac{-2}{2} = - 1 \\ k_2= \frac{-(-2)+4}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} =\frac{6}{2} =3[/tex]
Z uwzględnieniem ostrego znaku nierówności, zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. w zał.). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
k ∈ (- ∞; - 1) ∪ (3; + ∞)
Parametr k musi spełniać wszystkie trzy warunki, zatem:
(- ∞; 3,5) ∩ (2; + ∞) ∩ [(- ∞; - 1) ∪ (3; + ∞)] = (3; 3,5)
k ∈ (3; 3,5)
Zastępując parametr k parametrem c (takim, jaki jest w treści zadania), otrzymujemy:
c ∈ (3; 3,5)
