[tex]f(x) = ax^2 + bx + c \\ Warunki: \\ x_1 \cdot x_2 = 1 \\ oraz \\ \dfrac{1}{x^2_1} + \dfrac{1}{x^2_2} = 7 \\ \dfrac{x^2_2}{x^2_1 \cdot x^2_2} + \dfrac{ x^2_1}{x^2_1 \cdot x^2_2} = 7 \\ \dfrac{x^2_1+x^2_2}{x^2_1 \cdot x^2_2} = 7 \\ \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2} = 7 \\ Zatem: \\ x_1 \cdot x_2 = 1 \ \ i \ \ \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2} = 7[/tex]
Funkcja kwadratowa ma 2 miejsca zerowe, czyli a ≠ 0 i możemy skorzystać ze wzorów Viete'a: [tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \ \ i \ \ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]
Stąd:
[tex]x_1 \cdot x_2 = 1 \\ Zatem: \\ \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2 \cdot x_1 \cdot x_2}{(x_1 \cdot x_2)^2} = 7 \\ \dfrac{(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot 1}{1^2} = 7 \\ \dfrac{\frac{b^2}{a^2} -2}{1} = 7 \\ \frac{b^2}{a^2} -2 = 7 \\ \frac{b^2}{a^2}= 7+2 \\ \frac{b^2}{a^2}=9 \ \ \ |\cdot a^2 \ i \ a \neq 0 \\ b^2 = 9a^2 \\ b = \sqrt{9a^2} \ lub \ b = -\sqrt{9a^2} \\ b =3a \ lub \ b = -3a \\\\ x_1 \cdot x_2 = 1 \\ Zatem: \\ \frac{c}{a} = 1 \ \ \ |\cdot a \ i \ a \neq 0 \\ c = a[/tex]
Stąd:
f(x) = ax² + 3ax + a lub f(x) = ax² - 3ax + a
Do wykresu funkcji należy punkt A = (- 2, - 6), czyli współrzędne punktu A spełniają równanie paraboli: y = ax² + 3ax + a lub y = ax² - 3ax + a. Stąd:
A = (- 2, - 6) ∈ y = ax² + 3ax + a
[tex]a \cdot (- 2)^2 + 3a \cdot (-2) + a = - 6 \\ a \cdot 4 - 6a + a = - 6 \\ 4a - 6a + a = - 6 \\ - a = -6 \ \ \ |\cdot (-1) \\ a = 6 \\ Zatem:\\ f(x) = ax^2+ 3ax + a \\ f(x) = 6x^2+ 3 \cdot 6 x + 6 \\ \underline{f(x) = 6x^2+ 18x +6}[/tex]
A = (- 2, - 6) ∈ y = ax² - 3ax + a
[tex]a \cdot (- 2)^2 - 3a \cdot (-2) + a = - 6 \\ a \cdot 4 + 6a + a = - 6 \\ 4a+ 6a + a = - 6 \\ 11a = -6 \ \ \ |:11 \\ a =- \frac{6}{11} \\ Zatem:\\ f(x) = ax^2-3ax + a \\ f(x) =- \frac{6}{11}x^2- 3 \cdot (- \frac{6}{11}) x- \frac{6}{11} \\ f(x) =- \frac{6}{11}x^2+\frac{18}{11}x- \frac{6}{11} \\ \underline{f(x) =- \frac{6}{11}x^2+1\frac{7}{11}x- \frac{6}{11}}[/tex]
Wzór funkcji kwadratowej spełniającej warunki zadania
[tex]f(x) = 6x^2+ 18x +6 \ lub \ f(x) =- \frac{6}{11}x^2+1\frac{7}{11}x- \frac{6}{11}[/tex]
