Rozwiązanie:
Aby zbadać, czy dana funkcja posiada ekstrema, należy zbadać miejsca zmiany znaku jej pochodnej. Robimy to, licząc miejsca zerowe pochodnej i szkicując jej wykres. W naszym przypadku mamy dana pochodną, więc naszym zadaniem jest obliczyć jej miejsca zerowe i sprawdzić jak zachowuje się w ich otoczeniu:
[tex]f'(x)=-(x+5)(x-1)^{4}\\-(x+5)(x-1)^{4}=0\\x=-5, x=1[/tex]
Pierwiastek [tex]x=1[/tex] jest czterokrotny, więc wykres będzie się "odbijał" od tego miejsca. Wykres pochodnej umieszczam w załączniku.
Trochę teorii:
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Jeśli funkcja [tex]f[/tex] ma pochodną w punkcie [tex]x_{0}[/tex] i osiąga w tym punkcie ekstremum, to [tex]f'(x_{0})=0[/tex] (styczna do wykresu funkcji [tex]f[/tex] w punkcie [tex](x_{0},f(x_{0}))[/tex] jest równoległa do osi [tex]OX[/tex]).
Warunek wystarczający istnienia ekstremum:
Jeśli funkcja [tex]f[/tex] ma pochodną w przedziale [tex](a,b)[/tex] oraz [tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](a,x_{0})[/tex] i [tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](x_{0},b)[/tex], to funkcja [tex]f[/tex] ma w punkcie [tex]x_{0}[/tex] maksimum.
Jeśli funkcja [tex]f[/tex] ma pochodną w przedziale [tex](a,b)[/tex] oraz [tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](a,x_{0})[/tex] i [tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](x_{0},b)[/tex], to funkcja [tex]f[/tex] ma w punkcie [tex]x_{0}[/tex] minimum.
Na różnego rodzaju egzaminach (m.in. na maturze) wymaga się analizy warunku wystarczającego do istnienia ekstremum, lecz często mówimy krótko, że jeżeli pochodna funkcji [tex]f[/tex] zmienia w punkcie [tex]x_{0}[/tex] znak z dodatniego na ujemny, to funkcja
Z naszego wykresu odczytujemy, że:
[tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty,-5)[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex][-5,1][/tex]
[tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-5,1)[/tex] ∪ [tex](1,\infty)[/tex]
Oznacza to, że:
[tex]f(x)[/tex] rośnie dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty,-5>[/tex]
[tex]f(x)[/tex] maleje dla [tex]x[/tex] ∈ [tex]<-5,1>[/tex] ∪ [tex]<1,\infty)[/tex]
Stąd wnioskujemy, że funkcja [tex]f[/tex] przyjmuje maksimum lokalne, dla [tex]x=-5[/tex]. Zauważmy, że [tex]f'(x)=0[/tex] dla [tex]x=1[/tex], czyli warunek konieczny istnienia ekstremum jest spełniony, ale funkcja [tex]f[/tex] nie ma ekstremum w tym punkcie.
