Odpowiedź:
zad 1
an = n²/4n dla n ≥ 1
a(n + 1) = (n + 1)²/4(n + 1) = [(n + 1)(n +1)]/4(n + 1) = (n + 1)/4
zad 2
an = (n³ + n² - 6n)/(n + 4) dla n ≥ 1
n³ + n² - 6n = 0
n(n² + n - 6) = 0
n = 0 odrzucamy ponieważ n ≥ 1
n² + n - 6 = 0
a = 1 , b = 1 , c = - 6
Δ = b² - 4ac = 1 - 4 * 1 * (- 6) = 1 + 24 =25
√Δ = √25 = 5
n₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 1 - 5)/2 = - 6/2 = - 3 nie spełnia warunku n ≥ 1
n = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 5)/2 = 4/2 = 2
a₂ = 0
sprawdzenie
a₂ = (2³ + 2² - 6 * 2)/(2 + 4) = (8 + 4 - 12)/6 = (12 - 12)/6 = 0/6 = 0
Odp: drugi wyraz jest równy 0
zad 3
n² + 4n - 5 < 0 dla n ≥ 1
Obliczamy miejsca zerowe
a = 1 , b = 4 , c = - 5
n² + 4n - 5 = 0
Δ = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (- 5) = 16 + 20 = 36
√Δ = √36 = 6
n₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 4 - 6)/2 = - 10/2 = - 5
n₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 4 + 6)/2 = 2/2 = 1
a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry
n ∈ ( - 5 , 1 )
Ponieważ n ≥ 1 więc ciąg nie ma wyrazów ujemnych ponieważ dla n = 1 wartość ciągu wynosi 0
sprawdzenie
a₁ = 1² + 4 * 1 - 5 = 1 + 4 - 5 = 5 - 5 = 0
Każdy nastepny wyraz będzie większy od 0
