Rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku w załączniku.
Zauważmy, że trójkąt [tex]CPB[/tex] jest połową trójkąta równobocznego o wysokości równej [tex]6[/tex]. Stąd obliczamy [tex]x[/tex]:
[tex]\frac{x\sqrt{3} }{2}=6\\x\sqrt{3}=12\\x=\frac{12\sqrt{3} }{3}=4\sqrt{3}[/tex]
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P=rp[/tex]
gdzie [tex]p[/tex] to połowa obwodu trójkąta.
Obliczmy najpierw pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2} *4\sqrt{3} *4\sqrt{3} *sin(120)=24*\frac{\sqrt{3} }{2} =12\sqrt{3}\\[/tex]
Teraz obliczamy [tex]p[/tex]:
[tex]p=\frac{4\sqrt{3} +4\sqrt{3} +12}{2}=4\sqrt{3} +6[/tex]
Wyznaczamy z powyższego wzoru [tex]r[/tex] i obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w rozważany trójkąt:
[tex]r=\frac{P}{p}=\frac{12\sqrt{3} }{4\sqrt{3} +6}=12-6\sqrt{3}=6(2-\sqrt{3})[/tex]
