Odpowiedź:
[tex]P_{pc}=64(1+\sqrt{3})[/tex], [tex]V=\frac{1}{3} P_{p} H=\frac{256\sqrt{2} }{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku w załączniku.
Długość odcinka [tex]|OC|[/tex] jest równa [tex]4\sqrt{2}[/tex], gdyż jest to połowa przekątnej kwadratu o boku długości [tex]8[/tex].
Popatrzmy na trójkąt prostokątny [tex]SOC[/tex], z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości [tex]H:[/tex]
[tex]H^{2} =8^{2} -(4\sqrt{2} )^{2} =64-32=32\\H=\sqrt{32} =4\sqrt{2}[/tex]
Teraz możemy obliczyć objętość ostrosłupa:
[tex]V=\frac{1}{3} P_{p} H=\frac{256\sqrt{2} }{3}[/tex]
Zauważmy, że ściany boczne rozważanego ostrosłupa to trójkąty równoboczne o bokach długości 8. Zatem pole jednej ściany bocznej jest równe:
[tex]P_{b}=\frac{8^{2}\sqrt{3} }{4} =16\sqrt{3} \\[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej rozważanego ostrosłupa, jest to pole podstawy i czterech ścian bocznych:
[tex]P_{pc}=P_{p} +4P_{b}=64+64\sqrt{3} =64(1+\sqrt{3})[/tex]
