👤
Rozwiązane

Sznurek nawinięty na walcu o promieniu 25 cm jest ciągnięty z siłą 40N (jak pokazano na rysunku poniżej) Walec jest zamontowany na łożyskach, których tarcie można pominąć a jego moment bezwładności wynosi 6kgm^2.
a) Oblicz prędkość kątową walca po rozwinięciu się sznurka o 5 metrów
b) jeśli siła 40N zostanie zastąpiona ciężarkiem o wadze 40N to jaka będzie prędkość kątowa walca po odwinięciu się sznurka o 5 metrów?

Sznurek Nawinięty Na Walcu O Promieniu 25 Cm Jest Ciągnięty Z Siłą 40N Jak Pokazano Na Rysunku Poniżej Walec Jest Zamontowany Na Łożyskach Których Tarcie Można class=

Odpowiedź :

a) Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego obliczamy przyspieszenie kątowe walca:         I·ε = F·r    --->    ε = F·r/I

Następnie z kinematyki obliczamy prędkość kątową.

ω = ε·t         i        h = a·t²/2         gdzie przyspieszenie liniowe a = ε·r

ω = ε·t   --->   t = ω/ε       i        h = ε·r·t²/2

h = ε·r·(ω/ε)²/2 = r·ω²/(2·ε)

ω = √(2·ε·h/r)

Po wstawieniu ε = F·r/I  otrzymujemy ostatecznie:

ω = √(2·F·h/I) = √(2·40·5/6) = 8.16 rad/s

b) Wbrew pozorom układ z ciężarkiem nie jest równoważny układowi tylko z siłą. Teraz bowiem ta sama siła 40 N musi rozpędzić oba ciała (o większej masie/momencie bezwładności).   Masa ciężarka m = F/g ≈ 4 kg

Mamy dwa równania (II zasady dynamiki) dla walca i ciężarka:

I·ε' = N·r      i       m·a' = F - N   --->   N = F - m·a'            (N - naciąg linki)

I·ε' = F·r - m·a'·r           ,      a' = ε'·r

I·ε' = F·r - m·ε'·r²

ε' = F·r/(I + m·r²)

Dalej postępujemy podobnie jak w a) :

ω' = √(2·ε'·h/r)

ω' = √(2·F·h/(I + m·r²)) = √(2·40·5/(6 + 4·0.25²)) = 8 rad/s

Go Studier: Inne Pytanie