[tex]\frac{2x+2}{x^2- 25} \leq \frac{4x}{x^2+ 5x}[/tex]
Dziedzina:
x² - 25 ≠ 0 i x² + 5x ≠ 0
x² ≠ 25 i x · ( x + 5) ≠ 0
x ≠ √25 i x ≠ - √25 i x ≠ 0 i x + 5 ≠ 0
x ≠ 5 i x ≠ - 5 i x ≠ 0 i x ≠ -5
Zatem:
D = R \ {- 5, 0, 5}
[tex]\frac{2x+2}{x^2- 25} \leq \frac{4x}{x^2+ 5x} \\ \frac{2(x+1)}{(x -5)(x+5)} \leq \frac{4x}{x(x+ 5)} \\ \frac{2(x+1)}{(x -5)(x+5)} \leq \frac{4}{x+ 5} \ \ \ |\cdot \frac{1}{2} \\ \frac{x+1}{(x -5)(x+5)} \leq \frac{2}{x+ 5} \\ \frac{x+1}{(x -5)(x+5)} -\frac{2}{x+ 5} \leq 0 \\ \frac{x+1}{(x -5)(x+5)} -\frac{2(x - 5)}{(x -5)(x+5)} \leq 0 \\ \frac{x + 1 -2(x - 5)}{(x -5)(x+5)} \leq 0 \\ \frac{x + 1 -2x + 10}{(x -5)(x+5)} \leq 0 \\ \frac{-x + 11}{(x -5)(x+5)} \leq 0 \ \ \ |\cdot [(x -5)(x+5)]^2[/tex]
[tex](-x+11)(x - 5)(x+5) \leq 0 \\ Miejsca \ zerowe: \\ (-x+11)(x - 5)(x+5) = 0\\-x + 11 = 0 \ \vee \ x - 5 = 0 \ \vee \ x +5 = 0 \\\\ - x + 11 = 0 \\ - x = - 11 \ \ \ |\cdot (-1) \\ x = 11 \\\\ x - 5 = 0 \\ x = 5 \\\\ x + 5 = 0 \\ x = - 5 \\\\ Zatem: \\ x = - 5 \ \vee \ x = 5 \ \vee \ x = 11[/tex]
Uwzględniając nieostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy wykres (zał. 1) zgodnie ze schematem opisanym w zał. 2.
Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x ∈ ⟨- 5, 5⟩ ∪ ⟨11, + ∞)
Aby podać rozwiązanie nierówności wyjściowej musimy uwzględnić ustaloną dziedzinę:
x ∈ ⟨- 5, 5⟩ ∪ ⟨11, + ∞) i x ∈ R \ {- 5, 0, 5}
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
x ∈ (- 5, 0) ∪ (0, 5) ∪ ⟨11, + ∞)
