👤

Dla jakich wartości m równanie (x+4)(x2−(m−3)x+m2−9) = 0 ma trzy różne rozwiązania, z których dwa są ujemne?
Potrzebne na dzisiaj!


Odpowiedź :

(x+4)[x²-(m-3)x+m²-9]=0

x+4=0  ∨   x²-(m-3)x+m²-9=0 ( * )

x=-4      

Równanie ( * ) musi mieć dwa rozwiązania ,różne od -4 , z których jedno jest liczbą dodatnią, a drugie liczbą ujemną.

Δ=(m-3)²-4(m²-9)=m²-6m+9-4m²+36=-3m²-6m+45

Δ > 0

-3m²-6m+45 > 0 |:(-3)

m²+2m-15 < 0

Δm=2²-4·1·(-15)=4+60=64 , √Δ=√64=8

m1=(-2-8)/2

m1=-5

m2=(-2+8)/2

m2=3

m ∈ (-5,3)   ( * * )

Pierwiastki x1 oraz x2 równania ( * ) muszą spełniać warunki :

x1x2 < 0

(x1≠-4 ∧ x2≠-4 )⇔x1+x2≠-8

m²-9 < 0

(m+3)(m-3) < 0

m+3=0  ∨   m-3=0

m=-3     ∨     m=3

m ∈ (-3,3)   ( * * * )

x1+x2≠-8

m-3≠-8

m≠-5   ( * * * * )

Z warunków : ( * * ) , ( * * * ) oraz  ( * * * * ) wynika,że : m ∈ (-3,3) .